CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES

EL CONJUNTO DE LOS NÚMERO RACIONALES
Se conoce que las operaciones de adición, sustracción y multiplicación están bien definidas en el conjunto de los números enteros , es decir que la suma, diferencia y producto de dos números enteros, es otro entero(propiedad de clausura o cerradura).
Ejemplo
Sean los números enteros 13 y 7
Luego:
13+7=20  (20є )
13-7=6  (6є )
13.7=91  (91є )
Sin embargo, la división es una operación que está parcialmente definida, pues el cociente no siempre es entero. Por ejemplo:
20/5
13/5
Como en la vida diaria se van dar estos casos, es necesario ampliar el conjunto de los números enteros.
Empezaremos tomando a los números enteros en pares ordenados, denotándolo a través de la división, como por ejemplo.
(5,3)=5/3
(0,9)=0/9
(-8,2)=(-8)/2
(7,0)=7/0
Luego hay que tener cuidado que la segunda componente del par ordenado no sea cero.

Formemos el conjunto x *, donde:
= {….-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3….}
= {….-3,-2,-1, 1, 2, 3……..}
Gráficamente:
x *



(a,b)
x * = {(a,b) / a є ^ b є *}
(a,b) representa a/b
Observando algunos pares y denotando las componentes mediante la división :
…(2,4) (4,8) (6,12)…

“son equivalentes”
En conclusión:
Al cociente de la división de dos numeros enteros “a” y “b” donde b es diferente de cero se le denomina número racional.

 
DENSIDAD DE UN CONJUNTO
Un conjunto A es denso respecto a la relación de orden (<), si para dos elementos cualesquiera a y b de A (aAplicación 1
¿ es denso?
¿ es denso?

Aplicación 2.
Es falso que, la hipotenusa de un triangulo sea racional, si uno de sus catetos es racional y el otro irracional.

De lo anterior, podemos afirmar que entre 2 numeros racionales hay infinitos numeros racionales; pese aesto, los numeros racionales no cubren totalemnet la recta real. Dichos vacios serán cubierto por los números irracionales
¿Cuáles son las propiedades del conjunto ?
P1: Es un conjunto DENSO, pues dados dos números racionales ditintos existe por lo menos un número racional entre ellos; es decir, siempre es posible encontrarlo.
P2: Son posibles las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división de dos numeros racionales(salvo la división por cero)





Representación Geométrica
Representación en la recta real:

Aplicación 3.
¿Pertenece o no pertence a los racionales?
9/5
4/3
(-11)/13
(-16)/4
3,777
√5/3
π
√3/√5
 
NÚMERO FRACCIONARIO Y FRACCIÓN
NUMERO FRACIONARIO
Son aquellos números racionales que no son enteros.
3/4,11/5,(-2)/8 9/(-3),15/3,(-8)/4


FRACCIÓN
Son aquellos numeros fraccionarios cuyos terminos son positivos.
3/4,11/5,(-2)/8 9/(-3),15/3,(-8)/4


Si F es fracción:
F=A/B
Donde A y B є + ^ A≠B
Interpretación
El denominador indica las partes iguales en que se divide la unidad(o el todo)
El numerador representa las partes de la unidad(o el todo) que se toman o consideran.





Ejemplo:
Según la noción dada, indicar cuáles de los siguientes números son fracciones y cuáles no son:
7/(-3); 11/e; 8/6; 2/3;4/5; 72/13; 1111/3395; (-5)/9; π/4; 1,101001000100001,/;/

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FRACCIONES
Cuando queremos representar en forma gráfica una fracción, esto significa que lo hagamos mediante un dibujo geométrico, es decir, un cuadrado, un rectángulo, un círculo, etc. Esta representación consiste en demostrar en la figura el numerador y el denominador de la fracción. El denominador indica la cantidad de partes en las que está dividida la figura (partes iguales) y el numerador indica las partes que están pintadas

Por ejemplo, si deseamos representar gráficamente la fracción sería de la siguiente forma