CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES

EL CONJUNTO DE LOS NÚMERO RACIONALES
Se conoce que las operaciones de adición, sustracción y multiplicación están bien definidas en el conjunto de los números enteros , es decir que la suma, diferencia y producto de dos números enteros, es otro entero(propiedad de clausura o cerradura).
Ejemplo
Sean los números enteros 13 y 7
Luego:
13+7=20  (20є )
13-7=6  (6є )
13.7=91  (91є )
Sin embargo, la división es una operación que está parcialmente definida, pues el cociente no siempre es entero. Por ejemplo:
20/5
13/5
Como en la vida diaria se van dar estos casos, es necesario ampliar el conjunto de los números enteros.
Empezaremos tomando a los números enteros en pares ordenados, denotándolo a través de la división, como por ejemplo.
(5,3)=5/3
(0,9)=0/9
(-8,2)=(-8)/2
(7,0)=7/0
Luego hay que tener cuidado que la segunda componente del par ordenado no sea cero.

Formemos el conjunto x *, donde:
= {….-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3….}
= {….-3,-2,-1, 1, 2, 3……..}
Gráficamente:
x *



(a,b)
x * = {(a,b) / a є ^ b є *}
(a,b) representa a/b
Observando algunos pares y denotando las componentes mediante la división :
…(2,4) (4,8) (6,12)…

“son equivalentes”
En conclusión:
Al cociente de la división de dos numeros enteros “a” y “b” donde b es diferente de cero se le denomina número racional.

 
DENSIDAD DE UN CONJUNTO
Un conjunto A es denso respecto a la relación de orden (<), si para dos elementos cualesquiera a y b de A (aAplicación 1
¿ es denso?
¿ es denso?

Aplicación 2.
Es falso que, la hipotenusa de un triangulo sea racional, si uno de sus catetos es racional y el otro irracional.

De lo anterior, podemos afirmar que entre 2 numeros racionales hay infinitos numeros racionales; pese aesto, los numeros racionales no cubren totalemnet la recta real. Dichos vacios serán cubierto por los números irracionales
¿Cuáles son las propiedades del conjunto ?
P1: Es un conjunto DENSO, pues dados dos números racionales ditintos existe por lo menos un número racional entre ellos; es decir, siempre es posible encontrarlo.
P2: Son posibles las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división de dos numeros racionales(salvo la división por cero)





Representación Geométrica
Representación en la recta real:

Aplicación 3.
¿Pertenece o no pertence a los racionales?
9/5
4/3
(-11)/13
(-16)/4
3,777
√5/3
π
√3/√5
 
NÚMERO FRACCIONARIO Y FRACCIÓN
NUMERO FRACIONARIO
Son aquellos números racionales que no son enteros.
3/4,11/5,(-2)/8 9/(-3),15/3,(-8)/4


FRACCIÓN
Son aquellos numeros fraccionarios cuyos terminos son positivos.
3/4,11/5,(-2)/8 9/(-3),15/3,(-8)/4


Si F es fracción:
F=A/B
Donde A y B є + ^ A≠B
Interpretación
El denominador indica las partes iguales en que se divide la unidad(o el todo)
El numerador representa las partes de la unidad(o el todo) que se toman o consideran.





Ejemplo:
Según la noción dada, indicar cuáles de los siguientes números son fracciones y cuáles no son:
7/(-3); 11/e; 8/6; 2/3;4/5; 72/13; 1111/3395; (-5)/9; π/4; 1,101001000100001,/;/

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FRACCIONES
Cuando queremos representar en forma gráfica una fracción, esto significa que lo hagamos mediante un dibujo geométrico, es decir, un cuadrado, un rectángulo, un círculo, etc. Esta representación consiste en demostrar en la figura el numerador y el denominador de la fracción. El denominador indica la cantidad de partes en las que está dividida la figura (partes iguales) y el numerador indica las partes que están pintadas

Por ejemplo, si deseamos representar gráficamente la fracción sería de la siguiente forma


 

MOVILES

Ejemplo 1.
Una hormiga se desplaza desde la posición “A” hasta la posición “B”, describiendo la trayectoria mostrada. Determine la distancia y el recorrido. Desde “A” hasta “B”.
Rpta………
Ejemplo 2.
Silverio recorre de M hacia N con rapidez de 30m/min, durante 10min.; hallar la distancia y el espacio recorrido.
Rpta………
Ejemplo 3.
Un auto viaja con rapidez constante de 72 Km/h. ¿Qué distancia recorrerá en 10s?
Rpta………

TIEMPO DE ENCUENTRO
Ejemplo
Dos móviles separados 1800m. van al encuentro, uno del otro, en direcciones contrarias. ¿En cuánto tiempo se encontrarán?
Rpta………
TIEMPO DE ALCANCE
Ejemplo
El móvil “A” persigue al móvil “B”, separados de él 200m. (VA=60m/s y VB=20m/s)
Rpta………


EJEMPLOS DE APLICACIÓN
Tiempo de encuentro
Una pareja están separados 2x+10 metros el uno del otro; si aparten al mismo instante, con una rapidez de 8-x y 6+x metros por minuto, respectivamente, se encontrarán al cabo de un minuto; hallar “x”.
Rpta………
Tiempo de alcance
Patricio debe alcanzar a Perlita dentro de x min. , si la rapidez de ambos es de (x+10) y (x+8) metros por minuto en ese orden. Hallar “x”; sabiendo que están separados: (4x-10) m.
Rpta………
RELACIÓN ENTRE LA RAPIDEZ Y EL ESPACIO RECORRIDO DE DOS MÓVILES PARA UN MISMO TIEMPO
Ejemplo 1.
Un atleta está corriendo a razón de 10m/s y corre, durante 5 segundos; simultáneamente, en una pista paralela, un niño corre a razón de 5m/s el mismo tiempo que el atleta. Relacionar las rapideces y espacios de cada uno.
Rpta………
Ejemplo 2.
Dos móviles se desplazan durante cierto tiempo, con una rapidez de 25 Km/h y 35Km/h, respectivamente. ¿Cuál es la relación de espacios recorridos?
Rpta………


EJEMPLO DE APLICACIÓN
Dos automóviles pasan simultáneamente por el punto “A”, uno va 35 Km/h y el otro con rapidez de 56Km/h. Ambos corren durante cierto tiempo al cabo de los cuales están separados 294 Km. Si en ese instante, el más rápido dista de B, 120 Km. Calcular la distancia de A hasta B.
Rpta………
RELACIÓN ENTRE LAS RAPIDECES Y EL TIEMPO PARA ESPACIOS IGUALES
Ejemplo 1.
Dos autos van a recorrer 100 Km. Uno lo hace en 4 horas y el otro, en 10 horas. ¿En qué proporción está la rapidez de ambos y qué relación existe con la proporción de tiempos?
Rpta………
Ejemplo 2.
Para ir de un punto a otro, una persona camina de 8Km/h y para volver al punto de partida, lo hace a razón de 5 Km/h. Se desea saber la distancia que hay entre los puntos, sabiendo que en el viaje de ida y vuelta ha empleado, en total, 13 horas.
Rpta………

EJEMPLO DE APLICACIÓN
Un microbús debía cubrir cierta distancia en un determinado tiempo, pero como el conductor era nuevo, recorrió todo el trayecto con 1/5 menos de la rapidez normal, llegando así con un retraso de 4 horas. ¿En cuántas horas debió llegar normalmente?
Rpta………
VELOCIDAD O RAPIDEZ MEDIA
Ejemplo 1.
Una persona camina del punto “M” hacia el punto “N”, con una rapidez de 20Km/h, durante 2 horas, el tramo I; 4 horas, el tramo II y 2 horas, el tramo III. Hallar su rapidez media.


Rpta………

Ejemplo 2.
Un móvil se desplaza de “A” hacia “B”, 10s. Hallar la velocidad media del móvil si OA=10m.





Rpta………

VELOCIDAD DEL SONIDO
Una persona ubicada entre dos montañas emite un grito y recibe el primer eco a los 3s. y el siguiente a los 3,6 s. ¿Cuál es la separación entre las montañas?
Rpta………


PROBLEMAS RESUELTOS
1. Un ciclista corre con rapidez constante de 15m/s. ¿Cuántos kilómetros en 5 h?
Rpta………
2. Un tren cruza un poste en 10s y un túnel en 15s ¿En cuánto tiempo el tren cruzaría un túnel cuya extensión fuera el triple?
Rpta………
3. Un automóvil según aumente o disminuya la velocidad en 20, gana dos horas o pierde 3 horas. ¿Qué distancia recorre el móvil?
Rpta………
4. En una pista circular de 3000 metros, dos corredores parten juntos en sentido contrarios y se cruzan al cabo de 20 minutos. Después de 5 minutos adicionales llega el más veloz al punto de partida. ¿Cuál es la rapidez del otro corredor m/min.?
Rpta………










PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Una persona suele caminar con una velocidad de 7,2 Km. /h. ¿Cuántos metros recorre por cada segundo que transcurre?
Rpta………
2. Un tren viaja a razón de 18 Km./h y requiere de 35 segundos para cruzar completamente un túnel de 120 m. ¿Cuál es la longitud del tren?
Rpta………
3. Un ciclista que va a 12 Km/h, recorre una distancia igual diariamente, pero si cierto día triplica su velocidad demoraría 1 hora menor. ¿Cuál es la distancia diaria que recorre diariamente?
Rpta………
4. Un chico y una chica están separados 30m., parten al mismo tiempo en el mismo sentido con velocidades de 5m/s y 3m/s respectivamente. ¿En cuánto tiempo alcanzara el chico a la chica?
Rpta………
5. Un joven se encuentra a 85m. de una pared. En cierto instante silba, ¿Al cabo de cuánto tiempo escucha el sonido?
Rpta………



Ejemplo 1.
Una hormiga se desplaza desde la posición “A” hasta la posición “B”, describiendo la trayectoria mostrada. Determine la distancia y el recorrido. Desde “A” hasta “B”.
Rpta………
Ejemplo 2.
Silverio recorre de M hacia N con rapidez de 30m/min, durante 10min.; hallar la distancia y el espacio recorrido.
Rpta………
Ejemplo 3.
Un auto viaja con rapidez constante de 72 Km/h. ¿Qué distancia recorrerá en 10s?
Rpta………

TIEMPO DE ENCUENTRO
Ejemplo
Dos móviles separados 1800m. van al encuentro, uno del otro, en direcciones contrarias. ¿En cuánto tiempo se encontrarán?
Rpta………
TIEMPO DE ALCANCE
Ejemplo
El móvil “A” persigue al móvil “B”, separados de él 200m. (VA=60m/s y VB=20m/s)
Rpta………


EJEMPLOS DE APLICACIÓN
Tiempo de encuentro
Una pareja están separados 2x+10 metros el uno del otro; si aparten al mismo instante, con una rapidez de 8-x y 6+x metros por minuto, respectivamente, se encontrarán al cabo de un minuto; hallar “x”.
Rpta………
Tiempo de alcance
Patricio debe alcanzar a Perlita dentro de x min. , si la rapidez de ambos es de (x+10) y (x+8) metros por minuto en ese orden. Hallar “x”; sabiendo que están separados: (4x-10) m.
Rpta………
RELACIÓN ENTRE LA RAPIDEZ Y EL ESPACIO RECORRIDO DE DOS MÓVILES PARA UN MISMO TIEMPO
Ejemplo 1.
Un atleta está corriendo a razón de 10m/s y corre, durante 5 segundos; simultáneamente, en una pista paralela, un niño corre a razón de 5m/s el mismo tiempo que el atleta. Relacionar las rapideces y espacios de cada uno.
Rpta………
Ejemplo 2.
Dos móviles se desplazan durante cierto tiempo, con una rapidez de 25 Km/h y 35Km/h, respectivamente. ¿Cuál es la relación de espacios recorridos?
Rpta………


EJEMPLO DE APLICACIÓN
Dos automóviles pasan simultáneamente por el punto “A”, uno va 35 Km/h y el otro con rapidez de 56Km/h. Ambos corren durante cierto tiempo al cabo de los cuales están separados 294 Km. Si en ese instante, el más rápido dista de B, 120 Km. Calcular la distancia de A hasta B.
Rpta………
RELACIÓN ENTRE LAS RAPIDECES Y EL TIEMPO PARA ESPACIOS IGUALES
Ejemplo 1.
Dos autos van a recorrer 100 Km. Uno lo hace en 4 horas y el otro, en 10 horas. ¿En qué proporción está la rapidez de ambos y qué relación existe con la proporción de tiempos?
Rpta………
Ejemplo 2.
Para ir de un punto a otro, una persona camina de 8Km/h y para volver al punto de partida, lo hace a razón de 5 Km/h. Se desea saber la distancia que hay entre los puntos, sabiendo que en el viaje de ida y vuelta ha empleado, en total, 13 horas.
Rpta………

EJEMPLO DE APLICACIÓN
Un microbús debía cubrir cierta distancia en un determinado tiempo, pero como el conductor era nuevo, recorrió todo el trayecto con 1/5 menos de la rapidez normal, llegando así con un retraso de 4 horas. ¿En cuántas horas debió llegar normalmente?
Rpta………
VELOCIDAD O RAPIDEZ MEDIA
Ejemplo 1.
Una persona camina del punto “M” hacia el punto “N”, con una rapidez de 20Km/h, durante 2 horas, el tramo I; 4 horas, el tramo II y 2 horas, el tramo III. Hallar su rapidez media.


Rpta………

Ejemplo 2.
Un móvil se desplaza de “A” hacia “B”, 10s. Hallar la velocidad media del móvil si OA=10m.





Rpta………

VELOCIDAD DEL SONIDO
Una persona ubicada entre dos montañas emite un grito y recibe el primer eco a los 3s. y el siguiente a los 3,6 s. ¿Cuál es la separación entre las montañas?
Rpta………


PROBLEMAS RESUELTOS
1. Un ciclista corre con rapidez constante de 15m/s. ¿Cuántos kilómetros en 5 h?
Rpta………
2. Un tren cruza un poste en 10s y un túnel en 15s ¿En cuánto tiempo el tren cruzaría un túnel cuya extensión fuera el triple?
Rpta………
3. Un automóvil según aumente o disminuya la velocidad en 20, gana dos horas o pierde 3 horas. ¿Qué distancia recorre el móvil?
Rpta………
4. En una pista circular de 3000 metros, dos corredores parten juntos en sentido contrarios y se cruzan al cabo de 20 minutos. Después de 5 minutos adicionales llega el más veloz al punto de partida. ¿Cuál es la rapidez del otro corredor m/min.?
Rpta………










PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Una persona suele caminar con una velocidad de 7,2 Km. /h. ¿Cuántos metros recorre por cada segundo que transcurre?
Rpta………
2. Un tren viaja a razón de 18 Km./h y requiere de 35 segundos para cruzar completamente un túnel de 120 m. ¿Cuál es la longitud del tren?
Rpta………
3. Un ciclista que va a 12 Km/h, recorre una distancia igual diariamente, pero si cierto día triplica su velocidad demoraría 1 hora menor. ¿Cuál es la distancia diaria que recorre diariamente?
Rpta………
4. Un chico y una chica están separados 30m., parten al mismo tiempo en el mismo sentido con velocidades de 5m/s y 3m/s respectivamente. ¿En cuánto tiempo alcanzara el chico a la chica?
Rpta………
5. Un joven se encuentra a 85m. de una pared. En cierto instante silba, ¿Al cabo de cuánto tiempo escucha el sonido?
Rpta………